Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg5 34911
 Description: TODO: Is there a simpler more direct proof, that could be placed earlier e.g. near lhpexle 34309? TODO: The ∨ hypothesis is unused. FIX COMMENT. (Contributed by NM, 26-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg5.l = (le‘𝐾)
cdlemg5.j = (join‘𝐾)
cdlemg5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemg5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐻,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑊,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem cdlemg5
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cdlemg5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 cdlemg5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 cdlemg5.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexle 34309 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑟𝐴 𝑟 𝑊)
54adantr 480 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑟𝐴 𝑟 𝑊)
6 simpll 786 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑟 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpr 476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑟 𝑊)) → (𝑟𝐴𝑟 𝑊))
8 simplr 788 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑟 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
9 cdlemg5.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
101, 9, 2, 3cdlemf1 34867 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑟𝐴𝑟 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑟 (𝑃 𝑞)))
116, 7, 8, 10syl3anc 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑟 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑟 (𝑃 𝑞)))
12 3simpa 1051 . . . 4 ((𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑟 (𝑃 𝑞)) → (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
1312reximi 2994 . . 3 (∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝑟 (𝑃 𝑞)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
1411, 13syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑟 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
155, 14rexlimddv 3017 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292 This theorem is referenced by:  cdlemb3  34912
 Copyright terms: Public domain W3C validator