Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2k 34907
 Description: cdleme42keg 34792 with simpler hypotheses. TODO: FIX COMMENT. TODO: derive from cdlemg3a 34903, cdlemg2fv2 34906, cdlemg2jOLDN 34904, ltrnel 34443? (Contributed by NM, 22-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2inv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2j.m = (meet‘𝐾)
cdlemg2j.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg2k (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) (𝐹𝑄)) = ((𝐹𝑃) 𝑈))

Proof of Theorem cdlemg2k
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 cdlemg2j.l . 2 = (le‘𝐾)
3 cdlemg2j.j . 2 = (join‘𝐾)
4 cdlemg2j.m . 2 = (meet‘𝐾)
5 cdlemg2j.a . 2 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemg2inv.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemg2inv.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2610 . 2 ((𝑝 𝑞) 𝑊) = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
9 eqid 2610 . 2 ((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) = ((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
10 eqid 2610 . 2 ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊))) = ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
11 eqid 2610 . 2 (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊))))), 𝑠 / 𝑡((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))) (𝑥 𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊))))), 𝑠 / 𝑡((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
12 cdlemg2j.u . 2 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg2klem 34901 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) (𝐹𝑄)) = ((𝐹𝑃) 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ⦋csb 3499  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  meetcmee 16768  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464 This theorem is referenced by:  cdlemg2kq  34908  cdlemg2l  34909  cdlemg2m  34910  cdlemg9b  34939  cdlemg10bALTN  34942  cdlemg12b  34950  cdlemg17e  34971
 Copyright terms: Public domain W3C validator