Proof of Theorem cdlemg17dALTN
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp3l 1082 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) |
2 | | simp11 1084 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ HL) |
3 | | simp12 1085 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊 ∈ 𝐻) |
4 | | simp13 1086 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐺 ∈ 𝑇) |
5 | | cdlemg12.l |
. . . . 5
⊢ ≤ =
(le‘𝐾) |
6 | | cdlemg12.h |
. . . . 5
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
7 | | cdlemg12.t |
. . . . 5
⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) |
8 | | cdlemg12b.r |
. . . . 5
⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊) |
9 | 5, 6, 7, 8 | trlle 34489 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) |
10 | 2, 3, 4, 9 | syl21anc 1317 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) |
11 | | hllat 33668 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
12 | 2, 11 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ Lat) |
13 | | eqid 2610 |
. . . . . 6
⊢
(Base‘𝐾) =
(Base‘𝐾) |
14 | 13, 6, 7, 8 | trlcl 34469 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) |
15 | 2, 3, 4, 14 | syl21anc 1317 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) |
16 | | simp21l 1171 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
17 | | simp22 1088 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑄 ∈ 𝐴) |
18 | | cdlemg12.j |
. . . . . 6
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
19 | | cdlemg12.a |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
20 | 13, 18, 19 | hlatjcl 33671 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) |
21 | 2, 16, 17, 20 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) |
22 | 13, 6 | lhpbase 34302 |
. . . . 5
⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) |
23 | 3, 22 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) |
24 | | cdlemg12.m |
. . . . 5
⊢ ∧ =
(meet‘𝐾) |
25 | 13, 5, 24 | latlem12 16901 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅‘𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))) |
26 | 12, 15, 21, 23, 25 | syl13anc 1320 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅‘𝐺) ≤ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))) |
27 | 1, 10, 26 | mpbi2and 958 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) |
28 | | hlatl 33665 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat) |
29 | 2, 28 | syl 17 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝐾 ∈ AtLat) |
30 | | simp21 1087 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) |
31 | | simp3r 1083 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃) |
32 | 5, 19, 6, 7, 8 | trlat 34474 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) |
33 | 2, 3, 30, 4, 31, 32 | syl212anc 1328 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴) |
34 | | simp23 1089 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → 𝑃 ≠ 𝑄) |
35 | 5, 18, 24, 19, 6 | lhpat 34347 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) |
36 | 2, 3, 30, 17, 34, 35 | syl212anc 1328 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) |
37 | 5, 19 | atcmp 33616 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅‘𝐺) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ∈ 𝐴) → ((𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))) |
38 | 29, 33, 36, 37 | syl3anc 1318 |
. 2
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → ((𝑅‘𝐺) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ↔ (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊))) |
39 | 27, 38 | mpbid 221 |
1
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑅‘𝐺) ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺‘𝑃) ≠ 𝑃)) → (𝑅‘𝐺) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)) |