Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatw2s1p1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatw2s1p1 13265
 Description: Extract the symbol of the first singleton word of a word concatenated with this singleton word and another singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatw2s1p1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)

Proof of Theorem ccatw2s1p1
StepHypRef Expression
1 ccatws1cl 13249 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
21ad2ant2r 779 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
3 simpr 476 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
43adantl 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑌𝑉)
5 lencl 13179 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
6 fzonn0p1 12411 . . . . . . 7 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
98adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (#‘𝑊) ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1)))
10 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → (#‘𝑊) = 𝑁)
1110eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (#‘𝑊))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (#‘𝑊))
13 ccatws1len 13251 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
1413ad2ant2r 779 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1))
1514oveq2d 6565 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (0..^(#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))) = (0..^((#‘𝑊) + 1)))
169, 12, 153eltr4d 2703 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩))))
17 ccats1val1 13255 . . 3 (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑌𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
182, 4, 16, 17syl3anc 1318 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
19 simpl 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2019adantr 480 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
21 simpl 472 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
2221adantl 481 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑋𝑉)
23 eqcom 2617 . . . . . 6 ((#‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (#‘𝑊))
2423biimpi 205 . . . . 5 ((#‘𝑊) = 𝑁𝑁 = (#‘𝑊))
2524adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) → 𝑁 = (#‘𝑊))
2625adantr 480 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑁 = (#‘𝑊))
27 ccats1val2 13256 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑋𝑉𝑁 = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2820, 22, 26, 27syl3anc 1318 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
2918, 28eqtrd 2644 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = 𝑁) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘𝑁) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157 This theorem is referenced by:  numclwwlkovf2ex  26613  numclwlk1lem2foa  26618  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwlk1lem2foa  41521
 Copyright terms: Public domain W3C validator