Theorem caurcvgr 14252

Description: A Cauchy sequence of real numbers converges to its limit supremum. The third hypothesis specifies that 𝐹 is a Cauchy sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2016.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caurcvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caurcvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
caurcvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caurcvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caurcvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caurcvgr

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		caurcvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3		caurcvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
4		caurcvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
5		1rp 11712	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
7	1, 2, 3, 4, 6	caucvgrlem 14251	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))))
8		simpl 472	. . . . 5 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
9	8	rexlimivw 3011	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · 1))) → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
11	10	recnd 9947	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℂ)
12	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	2	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
14	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
15	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
16		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17		3re 10971	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
18		3pos 10991	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
19	17, 18	elrpii 11711	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ+
20		rpdivcl 11732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
21	16, 19, 20	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 3) ∈ ℝ+)
22	12, 13, 14, 15, 21	caucvgrlem 14251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
23		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ (((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
24	23	reximi 2994	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐴 ((lim sup‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
25	22, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
26		ssrexv 3630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)))))
27	12, 25, 26	sylc 63	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))))
28		rpcn 11717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℂ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
30		3cn 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℂ)
32		3ne0 10992	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 3 ≠ 0)
34	29, 31, 33	divcan2d 10682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (3 · (𝑦 / 3)) = 𝑦)
35	34	breq2d 4595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3)) ↔ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
36	35	imbi2d 329	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
37	36	rexralbidv 3040	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < (3 · (𝑦 / 3))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦)))
38	27, 37	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
39	38	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))
40		ax-resscn 9872	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
41		fss 5969	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
42	2, 40, 41	sylancl 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
43		eqidd 2611	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
44	42, 1, 43	rlim 14074	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹) ↔ ((lim sup‘𝐹) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (lim sup‘𝐹))) < 𝑦))))
45	11, 39, 44	mpbir2and 959	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  3c3 10948  ℝ⁺crp 11708  abscabs 13822  lim supclsp 14049   ⇝_𝑟 crli 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-rlim 14068

This theorem is referenced by:  caucvgrlem2  14253  caurcvg  14255