Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cardnn 8672
 Description: The cardinality of a natural number is the number. Corollary 10.23 of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cardnn (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem cardnn
StepHypRef Expression
1 nnon 6963 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onenon 8658 . . 3 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
3 cardid2 8662 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
5 nnfi 8038 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
6 ficardom 8670 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) ∈ ω)
8 nneneq 8028 . . 3 (((card‘𝐴) ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
97, 8mpancom 700 . 2 (𝐴 ∈ ω → ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
104, 9mpbid 221 1 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  cardccrd 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648 This theorem is referenced by:  card1  8677  cardennn  8692  cardsucnn  8694  nnsdomel  8699  pm54.43lem  8708  iscard3  8799  nnacda  8906  ficardun  8907  ficardun2  8908  pwsdompw  8909  ackbij2  8948  sdom2en01  9007  fin23lem22  9032  fin1a2lem9  9113  ficard  9266  cfpwsdom  9285  cardfz  12631  hashgval2  13028  hashdom  13029
 Copyright terms: Public domain W3C validator