Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brtxpsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brtxpsd 31171
 Description: Expansion of a common form used in quantifier-free definitions. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brtxpsd.1 𝐴 ∈ V
brtxpsd.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
brtxpsd 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅

Proof of Theorem brtxpsd
StepHypRef Expression
1 df-br 4584 . . 3 (𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)))
2 opex 4859 . . . . 5 𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
32elrn 5287 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩)
4 brsymdif 4641 . . . . . 6 (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩))
5 brv 31154 . . . . . . . . 9 𝑥V𝐴
6 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
7 brtxpsd.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
8 brtxpsd.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
96, 7, 8brtxp 31157 . . . . . . . . 9 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥V𝐴𝑥 E 𝐵))
105, 9mpbiran 955 . . . . . . . 8 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 E 𝐵)
118epelc 4951 . . . . . . . 8 (𝑥 E 𝐵𝑥𝐵)
1210, 11bitri 263 . . . . . . 7 (𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝐵)
13 brv 31154 . . . . . . . 8 𝑥V𝐵
146, 7, 8brtxp 31157 . . . . . . . 8 (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝑥𝑅𝐴𝑥V𝐵))
1513, 14mpbiran2 956 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥𝑅𝐴)
1612, 15bibi12i 328 . . . . . 6 ((𝑥(V ⊗ E )⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥(𝑅 ⊗ V)⟨𝐴, 𝐵⟩) ↔ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
174, 16xchbinx 323 . . . . 5 (𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
1817exbii 1764 . . . 4 (∃𝑥 𝑥((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
193, 18bitri 263 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V)) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
20 exnal 1744 . . 3 (∃𝑥 ¬ (𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
211, 19, 203bitrri 286 . 2 (¬ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴) ↔ 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵)
2221con1bii 345 1 𝐴ran ((V ⊗ E ) △ (𝑅 ⊗ V))𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝑥𝑅𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195  ∀wal 1473  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   △ csymdif 3805  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   E cep 4947  ran crn 5039   ⊗ ctxp 31106 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-symdif 3806  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-eprel 4949  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fo 5810  df-fv 5812  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-txp 31130 This theorem is referenced by:  brtxpsd2  31172
 Copyright terms: Public domain W3C validator