Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssec 22050
 Description: A ball centered at 𝑃 is contained in the set of points finitely separated from 𝑃. This is just an application of ssbl 22038 to the infinity ball. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1 = (𝐷 “ ℝ)
Assertion
Ref Expression
blssec ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] )

Proof of Theorem blssec
StepHypRef Expression
1 pnfge 11840 . . . . 5 (𝑆 ∈ ℝ*𝑆 ≤ +∞)
21adantl 481 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → 𝑆 ≤ +∞)
3 pnfxr 9971 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
4 ssbl 22038 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ 𝑆 ≤ +∞) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
543expia 1259 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑆 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
63, 5mpanr2 716 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ +∞ → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)))
72, 6mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
873impa 1251 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
9 xmeter.1 . . . 4 = (𝐷 “ ℝ)
109xmetec 22049 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃] = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
11103adant3 1074 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → [𝑃] = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
128, 11sseqtr4d 3605 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) ⊆ [𝑃] )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  [cec 7627  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562 This theorem is referenced by:  xmetresbl  22052  xrsblre  22422  isbndx  32751
 Copyright terms: Public domain W3C validator