MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blpnfctr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blpnfctr 22051
Description: The infinity ball in an extended metric acts like an ultrametric ball in that every point in the ball is also its center. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blpnfctr ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))

Proof of Theorem blpnfctr
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (𝐷 “ ℝ) = (𝐷 “ ℝ)
21xmeter 22048 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
323ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐷 “ ℝ) Er 𝑋)
4 simp3 1056 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
51xmetec 22049 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
653adant3 1074 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = (𝑃(ball‘𝐷)+∞))
74, 6eleqtrrd 2691 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ))
8 elecg 7672 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
98ancoms 468 . . . . 5 ((𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
1093adant1 1072 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝐴 ∈ [𝑃](𝐷 “ ℝ) ↔ 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴))
117, 10mpbid 221 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝑃(𝐷 “ ℝ)𝐴)
123, 11erthi 7680 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝑃](𝐷 “ ℝ) = [𝐴](𝐷 “ ℝ))
13 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
14 blssm 22033 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋 ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1513, 14mp3an3 1405 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) ⊆ 𝑋)
1615sselda 3568 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → 𝐴𝑋)
171xmetec 22049 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1817adantlr 747 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
1916, 18syldan 486 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
20193impa 1251 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → [𝐴](𝐷 “ ℝ) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
2112, 6, 203eqtr3d 2652 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)+∞)) → (𝑃(ball‘𝐷)+∞) = (𝐴(ball‘𝐷)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540   class class class wbr 4583  ccnv 5037  cima 5041  cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626  [cec 7627  cr 9814  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562
This theorem is referenced by:  metdstri  22462
  Copyright terms: Public domain W3C validator