Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blo3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blo3i 27041
 Description: Properties that determine a bounded linear operator. (Contributed by NM, 13-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
isblo3i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
isblo3i.m 𝑀 = (normCV𝑈)
isblo3i.n 𝑁 = (normCV𝑊)
isblo3i.4 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
isblo3i.5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
isblo3i.u 𝑈 ∈ NrmCVec
isblo3i.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
blo3i ((𝑇𝐿𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝑦,𝑇   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑦)

Proof of Theorem blo3i
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (𝑀𝑦)) = (𝐴 · (𝑀𝑦)))
21breq2d 4595 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀𝑦))))
32ralbidv 2969 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀𝑦))))
43rspcev 3282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦)))
5 isblo3i.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
6 isblo3i.m . . . . 5 𝑀 = (normCV𝑈)
7 isblo3i.n . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑊)
8 isblo3i.4 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9 isblo3i.5 . . . . 5 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10 isblo3i.u . . . . 5 𝑈 ∈ NrmCVec
11 isblo3i.w . . . . 5 𝑊 ∈ NrmCVec
125, 6, 7, 8, 9, 10, 11isblo3i 27040 . . . 4 (𝑇𝐵 ↔ (𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))))
1312biimpri 217 . . 3 ((𝑇𝐿 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝑥 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
144, 13sylan2 490 . 2 ((𝑇𝐿 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀𝑦)))) → 𝑇𝐵)
15143impb 1252 1 ((𝑇𝐿𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑇𝑦)) ≤ (𝐴 · (𝑀𝑦))) → 𝑇𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   · cmul 9820   ≤ cle 9954  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825  normCVcnmcv 26829   LnOp clno 26979   BLnOp cblo 26981 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839  df-lno 26983  df-nmoo 26984  df-blo 26985  df-0o 26986 This theorem is referenced by:  ipblnfi  27095
 Copyright terms: Public domain W3C validator