Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blcld 22120
 Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3 𝑆 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
Assertion
Ref Expression
blcld ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnuni 22056 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
323ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑋 = 𝐽)
43difeq1d 3689 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋𝑆) = ( 𝐽𝑆))
5 difssd 3700 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋𝑆) ⊆ 𝑋)
6 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7 simpl1 1057 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8 simpl2 1058 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → 𝑃𝑋)
9 eldifi 3694 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋𝑆) → 𝑦𝑋)
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → 𝑦𝑋)
11 xmetcl 21946 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑦𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
127, 8, 10, 11syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13 eldif 3550 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑋𝑆) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ¬ 𝑦𝑆))
14 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
1514breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
16 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
1715, 16elrab2 3333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
1817simplbi2 653 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑋 → ((𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅𝑦𝑆))
1918con3dimp 456 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑋 ∧ ¬ 𝑦𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
2013, 19sylbi 206 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
2120adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
22 xrltnle 9984 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
236, 12, 22syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
2421, 23mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25 qbtwnxr 11905 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
266, 12, 24, 25syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
27 qre 11669 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
287adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2910adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦𝑋)
3012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31 rexr 9964 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
3231ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3332xnegcld 12002 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
3430, 33xaddcld 12003 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
35 blelrn 22032 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
3628, 29, 34, 35syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
37 simprrr 801 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦))
38 xposdif 11964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
3932, 30, 38syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
4037, 39mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))
41 xblcntr 22026 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
4228, 29, 34, 40, 41syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
43 incom 3767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
448adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑃𝑋)
45 xaddcom 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
4632, 34, 45syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
47 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 xnpcan 11954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
4930, 47, 48syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
5046, 49eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (𝑃𝐷𝑦))
51 xrleid 11859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
5230, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
5350, 52eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
54 bldisj 22013 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑦𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
5528, 44, 29, 32, 34, 53, 54syl33anc 1333 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
5643, 55syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅)
57 blssm 22033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
5828, 29, 34, 57syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
59 reldisj 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋 → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
6156, 60mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
626adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
63 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 < 𝑥)
641, 16blsscls2 22119 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝑅 < 𝑥)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
6528, 44, 62, 32, 63, 64syl23anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
6665sscond 3709 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ⊆ (𝑋𝑆))
6761, 66sstrd 3578 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋𝑆))
68 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑦𝑤𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))))
69 sseq1 3589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑤 ⊆ (𝑋𝑆) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋𝑆)))
7068, 69anbi12d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → ((𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋𝑆))))
7170rspcev 3282 . . . . . . . . . 10 (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋𝑆))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)))
7236, 42, 67, 71syl12anc 1316 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)))
7372expr 641 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆))))
7427, 73sylan2 490 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆))))
7574rexlimdva 3013 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆))))
7626, 75mpd 15 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋𝑆)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)))
7776ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ (𝑋𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)))
781elmopn 22057 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)))))
79783ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑋𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦𝑤𝑤 ⊆ (𝑋𝑆)))))
805, 77, 79mpbir2and 959 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋𝑆) ∈ 𝐽)
814, 80eqeltrrd 2689 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → ( 𝐽𝑆) ∈ 𝐽)
821mopntop 22055 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
83823ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐽 ∈ Top)
84 ssrab2 3650 . . . . 5 {𝑧𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ 𝑋
8516, 84eqsstri 3598 . . . 4 𝑆𝑋
8685, 3syl5sseq 3616 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 𝐽)
87 eqid 2610 . . . 4 𝐽 = 𝐽
8887iscld2 20642 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽𝑆) ∈ 𝐽))
8983, 86, 88syl2anc 691 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽𝑆) ∈ 𝐽))
9081, 89mpbird 246 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℚcq 11664  -𝑒cxne 11819   +𝑒 cxad 11820  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557  Topctop 20517  Clsdccld 20630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633 This theorem is referenced by:  blcls  22121  lmle  22907  minveclem4  23011  lhop1lem  23580  ftalem3  24601  ubthlem1  27110
 Copyright terms: Public domain W3C validator