Theorem bj-lineq 32335

Description: Solution of a (scalar) linear equation. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-lineq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-lineq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-lineq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-lineq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
bj-lineq.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
bj-lineq	⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))

Proof of Theorem bj-lineq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-lineq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		bj-lineq.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 9939	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ ℂ)
4		bj-lineq.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5		bj-lineq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	addlsub 10326	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝑌 − 𝐵)))
7	5, 4	subcld 10271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐵) ∈ ℂ)
8		bj-lineq.n0	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	1, 2, 7, 8	bj-rdiv 32333	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝑌 − 𝐵) ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))
10	6, 9	bitrd 267	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) + 𝐵) = 𝑌 ↔ 𝑋 = ((𝑌 − 𝐵) / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  bj-lineqi  32336