Theorem bj-bary1lem1 32338

Description: Existence and uniqueness (and actual computation) of barycentric coordinates in dimension 1 (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 10272	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5		pm5.31 610	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
6	3, 4, 5	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7		eqtr2 2630	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
8	7	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
9	6, 8	syl6 34	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
11	10	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12		eqtr 2629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
13	11, 12	sylan2 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14		1cnd 9935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 2, 15	subdird 10366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
17	15	mulid2d 9937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	17	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
19	16, 18	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	19	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
21	13, 20	sylan9eqr 2666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
22	21	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
23	9, 22	sylan2d 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
24	2, 15	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25		bj-bary1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	2, 25	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
27	15, 24, 26	subadd23d 10293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
28	2, 25, 15	subdid 10365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
29	28	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
30	29	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
31	27, 30	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
32	31	eqeq2d 2620	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
33	23, 32	sylibd 228	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
34		oveq1 6556	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴))
35	25, 15	subcld 10271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	2, 35	mulcld 9939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
37	15, 36	pncan2d 10273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
38	37	eqeq2d 2620	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
39	34, 38	syl5ib 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
40		eqcom 2617	. . 3 ⊢ ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴))
41	2, 35	mulcomd 9940	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇))
42	41	eqeq1d 2612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴)))
43		bj-bary1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
44	43, 15	subcld 10271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
45		bj-bary1.neq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	45	necomd 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
47	25, 15, 46	subne0d 10280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
48	35, 2, 44, 47	bj-rdiv 32333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
49	48	biimpd 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
50	42, 49	sylbid 229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
51	40, 50	syl5bi 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
52	33, 39, 51	3syld 58	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  bj-bary1  32339