Theorem axtgupdim2OLD 29999

Description: Upper dimension axiom for dimension 2, Axiom A9 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
istrkg2d.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg2d.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
istrkg2d.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
axtgupdim2OLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
axtgupdim2OLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
axtgupdim2OLD.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
axtgupdim2OLD.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
axtgupdim2OLD.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
axtgupdim2OLD.0	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
axtgupdim2OLD.1	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉))
axtgupdim2OLD.2	⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉))
axtgupdim2OLD.3	⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉))
axtgupdim2OLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG2D)

Assertion

Ref	Expression
axtgupdim2OLD	⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem axtgupdim2OLD

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtgupdim2OLD.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉))
2		axtgupdim2OLD.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉))
3		axtgupdim2OLD.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉))
4	1, 2, 3	3jca 1235	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)))
5		axtgupdim2OLD.0	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
6		axtgupdim2OLD.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG2D)
7		istrkg2d.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		istrkg2d.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
9		istrkg2d.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	7, 8, 9	istrkg2d 29997	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG2D ↔ (𝐺 ∈ V ∧ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
11	6, 10	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 ∃𝑧 ∈ 𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
12	11	simprrd 793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
13		axtgupdim2OLD.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
14		axtgupdim2OLD.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		axtgupdim2OLD.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
16		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑢))
17		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 − 𝑣) = (𝑋 − 𝑣))
18	16, 17	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣)))
19	18	3anbi1d 1395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣))))
20	19	anbi1d 737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)))
21		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
22	21	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
23		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
24		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
25	24	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
26	22, 23, 25	3orbi123d 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
27	20, 26	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
28	27	2ralbidv 2972	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
29		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑢))
30		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 − 𝑣) = (𝑌 − 𝑣))
31	29, 30	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣)))
32	31	3anbi2d 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣))))
33	32	anbi1d 737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)))
34		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑌))
35	34	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
36		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧𝐼𝑌))
37	36	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌)))
38		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
39	35, 37, 38	3orbi123d 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
40	33, 39	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
41	40	2ralbidv 2972	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))))
42		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑢))
43		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 − 𝑣) = (𝑍 − 𝑣))
44	42, 43	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)))
45	44	3anbi3d 1397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣))))
46	45	anbi1d 737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣)))
47		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
48		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑧𝐼𝑌) = (𝑍𝐼𝑌))
49	48	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)))
50		oveq2 6557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
51	50	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
52	47, 49, 51	3orbi123d 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
53	46, 52	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
54	53	2ralbidv 2972	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
55	28, 41, 54	rspc3v 3296	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
56	13, 14, 15, 55	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑃 ∀𝑦 ∈ 𝑃 ∀𝑧 ∈ 𝑃 ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑥 − 𝑢) = (𝑥 − 𝑣) ∧ (𝑦 − 𝑢) = (𝑦 − 𝑣) ∧ (𝑧 − 𝑢) = (𝑧 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
57	12, 56	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
58		axtgupdim2OLD.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
59		axtgupdim2OLD.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
60		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑈))
61	60	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣)))
62		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑈))
63	62	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣)))
64		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑈))
65	64	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)))
66	61, 63, 65	3anbi123d 1391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣))))
67		neeq1 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ≠ 𝑣 ↔ 𝑈 ≠ 𝑣))
68	66, 67	anbi12d 743	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣)))
69	68	imbi1d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
70		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑋 − 𝑣) = (𝑋 − 𝑉))
71	70	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ↔ (𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉)))
72		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑌 − 𝑣) = (𝑌 − 𝑉))
73	72	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ↔ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉)))
74		oveq2 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑍 − 𝑣) = (𝑍 − 𝑉))
75	74	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣) ↔ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)))
76	71, 73, 75	3anbi123d 1391	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ↔ ((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉))))
77		neeq2 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (𝑈 ≠ 𝑣 ↔ 𝑈 ≠ 𝑉))
78	76, 77	anbi12d 743	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣) ↔ (((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉)))
79	78	imbi1d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑉 → (((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) ↔ ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
80	69, 79	rspc2v 3293	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑃 ∧ 𝑉 ∈ 𝑃) → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
81	58, 59, 80	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝑃 ∀𝑣 ∈ 𝑃 ((((𝑋 − 𝑢) = (𝑋 − 𝑣) ∧ (𝑌 − 𝑢) = (𝑌 − 𝑣) ∧ (𝑍 − 𝑢) = (𝑍 − 𝑣)) ∧ 𝑢 ≠ 𝑣) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))) → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))))
82	57, 81	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − 𝑈) = (𝑋 − 𝑉) ∧ (𝑌 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑉) ∧ (𝑍 − 𝑈) = (𝑍 − 𝑉)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
83	4, 5, 82	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  Itvcitv 25135  TarskiG_2Dcstrkg2d 29995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-trkg2d 29996

This theorem is referenced by: (None)