Theorem axmulass 9857

Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 10 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 9881. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulass	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem axmulass

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 9842	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		mulcnsrec 9844	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 9844	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩]◡ E )
4		mulcnsrec 9844	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))), ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢))⟩]◡ E )
5		mulcnsrec 9844	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))), ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))⟩]◡ E )
6		mulclsr 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
7		m1r 9782	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
8		mulclsr 9784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9		mulclsr 9784	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
10	7, 8, 9	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
11		addclsr 9783	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
12	6, 10, 11	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
13	12	an4s 865	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
14		mulclsr 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
15		mulclsr 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
16		addclsr 9783	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
17	14, 15, 16	syl2anr 494	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
18	17	an42s 866	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
19	13, 18	jca 553	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
20		mulclsr 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
21		mulclsr 9784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
22		mulclsr 9784	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
23	7, 21, 22	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
24		addclsr 9783	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
25	20, 23, 24	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
26	25	an4s 865	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
27		mulclsr 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
28		mulclsr 9784	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
29		addclsr 9783	. . . . 5 ⊢ (((𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
30	27, 28, 29	syl2anr 494	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
31	30	an42s 866	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
32	26, 31	jca 553	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R))
33		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ V
34		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ V
35		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ V
36		addcomsr 9787	. . . 4 ⊢ (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
37		addasssr 9788	. . . 4 ⊢ ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ))
38		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ V
39	33, 34, 35, 36, 37, 38	caov42 6765	. . 3 ⊢ (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
40		distrsr 9791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
41		distrsr 9791	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))
42	41	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
43		distrsr 9791	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
44	42, 43	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
45	40, 44	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
46		vex 3176	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
47	7	elexi 3186	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ V
48		vex 3176	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
49		mulcomsr 9789	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓)
50		distrsr 9791	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ·R (𝑔 +R ℎ)) = ((𝑓 ·R 𝑔) +R (𝑓 ·R ℎ))
51		ovex 6577	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ V
52		vex 3176	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
53		mulasssr 9790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ℎ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R ℎ))
54	46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53	caovdilem 6767	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)))
55		mulasssr 9790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))
56	55	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
57	56	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
58	54, 57	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
59		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
60		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑤 ∈ V
61		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑢 ∈ V
62	59, 46, 48, 49, 50, 60, 61, 53	caovdilem 6767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
63	62	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
64		distrsr 9791	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
65		ovex 6577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ V
66	47, 46, 65, 49, 53	caov12 6760	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
67	66	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
68	64, 67	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
69	63, 68	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
70	58, 69	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
71	39, 45, 70	3eqtr4ri 2643	. 2 ⊢ ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))))
72		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ V
73		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ V
74		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ V
75		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ V
76	72, 73, 74, 36, 37, 75	caov42 6765	. . 3 ⊢ (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
77		distrsr 9791	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
78		distrsr 9791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))
79	77, 78	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
80	59, 46, 48, 49, 50, 60, 52, 53	caovdilem 6767	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
81	46, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 53	caovdilem 6767	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)))
82		mulasssr 9790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))
83	82	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
84	47, 59, 65, 49, 53	caov12 6760	. . . . . . 7 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
85	83, 84	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
86	85	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
87	81, 86	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
88	80, 87	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
89	76, 79, 88	3eqtr4ri 2643	. 2 ⊢ ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))
90	1, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 71, 89	ecovass 7742	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   E cep 4947  ^◡ccnv 5037  (class class class)co 6549  Rcnr 9566  -1_Rcm1r 9569   +_R cplr 9570   ·_R cmr 9571  ℂcc 9813   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-1p 9683  df-plp 9684  df-mp 9685  df-ltp 9686  df-enr 9756  df-nr 9757  df-plr 9758  df-mr 9759  df-m1r 9763  df-c 9821  df-mul 9827

This theorem is referenced by: (None)