Theorem axlowdimlem7 25628

Description: Lemma for axlowdim 25641. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem7	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3		3ex 10973	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 10158	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fsn 6308	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
6	2, 5	mpbir 220	. . . . . . 7 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7		neg1rr 11002	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
8		snssi 4280	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {-1} ⊆ ℝ
10		fss 5969	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
11	6, 9, 10	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12		0re 9919	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6008	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
14	11, 13	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15		disjdif 3992	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16		fun2 5980	. . . . 5 ⊢ ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
17	14, 15, 16	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18		eluzle 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19		1le3 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 3
20	18, 19	jctil 558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21		eluzelz 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		3z 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		1z 11284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		elfz 12203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
25	22, 23, 24	mp3an12 1406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
27	20, 26	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
28	27	snssd 4281	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
29		undif 4001	. . . . . 6 ⊢ ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
30	28, 29	sylib 207	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
31	30	feq2d 5944	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
32	17, 31	mpbii 222	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
33		eluzge3nn 11606	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
34		elee 25574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
36	32, 35	mpbird 246	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
37	1, 36	syl5eqel 2692	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  -cneg 10146  ℕcn 10897  3c3 10948  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  𝔼cee 25568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-ee 25571

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  25636  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638