Theorem atncvrN 33620

Description: Two atoms cannot satisfy the covering relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
atncvr.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
atncvr.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atncvrN	⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Proof of Theorem atncvrN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2		atncvr.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3	1, 2	atn0 33613	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
4	3	3adant3 1074	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ (0.‘𝐾))
5		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6	5, 2	atbase 33594	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		atncvr.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
9	5, 7, 1, 8, 2	atcvreq0 33619	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
10	6, 9	syl3an2 1352	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 = (0.‘𝐾)))
11	10	necon3bbid 2819	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑃𝐶𝑄 ↔ 𝑃 ≠ (0.‘𝐾)))
12	4, 11	mpbird 246	1 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ¬ 𝑃𝐶𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  0.cp0 16860   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-glb 16798  df-p0 16862  df-lat 16869  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603

This theorem is referenced by: (None)