Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0le 33609
Description: Orthoposet zero is less than or equal to any element. (ch0le 27684 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0le.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0le.l = (le‘𝐾)
atl0le.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0le ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)

Proof of Theorem atl0le
StepHypRef Expression
1 atl0le.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . 2 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0le.l . 2 = (le‘𝐾)
4 atl0le.z . 2 0 = (0.‘𝐾)
5 simpl 472 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
6 simpr 476 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2610 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
81, 7, 2atl0dm 33607 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
98adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9p0le 16866 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  lubclub 16765  glbcglb 16766  0.cp0 16860  AtLatcal 33569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-glb 16798  df-p0 16862  df-atl 33603
This theorem is referenced by:  atlle0  33610  atlltn0  33611  atcvreq0  33619  trlval4  34493  dian0  35346  dia0  35359  dihmeetlem4preN  35613
  Copyright terms: Public domain W3C validator