Proof of Theorem atexchcvrN
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1057 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL) |
2 | | simpl21 1132 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
3 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢
(Base‘𝐾) =
(Base‘𝐾) |
4 | | atexchcvr.a |
. . . . . . 7
⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾) |
5 | 3, 4 | atbase 33594 |
. . . . . 6
⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) |
6 | 2, 5 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) |
7 | | hllat 33668 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat) |
8 | 1, 7 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat) |
9 | | simpl22 1133 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴) |
10 | 3, 4 | atbase 33594 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) |
12 | | simpl23 1134 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴) |
13 | 3, 4 | atbase 33594 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) |
15 | | atexchcvr.j |
. . . . . . 7
⊢ ∨ =
(join‘𝐾) |
16 | 3, 15 | latjcl 16874 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) |
17 | 8, 11, 14, 16 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) |
18 | 1, 6, 17 | 3jca 1235 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) |
19 | | eqid 2610 |
. . . . 5
⊢
(le‘𝐾) =
(le‘𝐾) |
20 | | atexchcvr.c |
. . . . 5
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾) |
21 | 3, 19, 20 | cvrle 33583 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) |
22 | 18, 21 | sylancom 698 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅)) |
23 | 22 | ex 449 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅))) |
24 | 19, 15, 4 | hlatexch2 33700 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))) |
25 | | simpl1 1057 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL) |
26 | | simpl22 1133 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴) |
27 | | simpl21 1132 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝐴) |
28 | | simpl23 1134 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴) |
29 | | simpl3 1059 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑃 ≠ 𝑅) |
30 | | simpr 476 |
. . . 4
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) |
31 | 19, 15, 20, 4 | atcvrj2 33737 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)) |
32 | 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31 | syl132anc 1336 |
. . 3
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅)) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅)) |
33 | 32 | ex 449 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅))) |
34 | 23, 24, 33 | 3syld 58 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 ∨ 𝑅))) |