Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atexchcvrN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atexchcvrN 33744
 Description: Atom exchange property. Version of hlatexch2 33700 with covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
atexchcvr.j = (join‘𝐾)
atexchcvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atexchcvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atexchcvrN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅)))

Proof of Theorem atexchcvrN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐴)
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 atexchcvr.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atbase 33594 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
7 hllat 33668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
81, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simpl22 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
103, 4atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12 simpl23 1134 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
133, 4atbase 33594 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
15 atexchcvr.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
163, 15latjcl 16874 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
178, 11, 14, 16syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
181, 6, 173jca 1235 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)))
19 eqid 2610 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
20 atexchcvr.c . . . . 5 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
213, 19, 20cvrle 33583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
2218, 21sylancom 698 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))
2322ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
2419, 15, 4hlatexch2 33700 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)))
25 simpl1 1057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
26 simpl22 1133 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑄𝐴)
27 simpl21 1132 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑃𝐴)
28 simpl23 1134 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑅𝐴)
29 simpl3 1059 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑃𝑅)
30 simpr 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅))
3119, 15, 20, 4atcvrj2 33737 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑃𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑅𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅))) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅))
3225, 26, 27, 28, 29, 30, 31syl132anc 1336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) ∧ 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅)) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅))
3332ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑃 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅)))
3423, 24, 333syld 58 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ 𝑃𝑅) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑄𝐶(𝑃 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868   ⋖ ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656 This theorem is referenced by:  atexchltN  33745
 Copyright terms: Public domain W3C validator