Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  archiabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem archiabllem2 29082
 Description: Archimedean ordered groups with no minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
archiabllem.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
archiabllem.0 0 = (0g𝑊)
archiabllem.e = (le‘𝑊)
archiabllem.t < = (lt‘𝑊)
archiabllem.m · = (.g𝑊)
archiabllem.g (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
archiabllem.a (𝜑𝑊 ∈ Archi)
archiabllem2.1 + = (+g𝑊)
archiabllem2.2 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
archiabllem2.3 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
Assertion
Ref Expression
archiabllem2 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐵   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏   + ,𝑎,𝑏   ,𝑎,𝑏   < ,𝑎,𝑏   0 ,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   · (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem archiabllem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 archiabllem.g . . 3 (𝜑𝑊 ∈ oGrp)
2 ogrpgrp 29034 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → 𝑊 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
4 archiabllem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 archiabllem.0 . . . . 5 0 = (0g𝑊)
6 archiabllem.e . . . . 5 = (le‘𝑊)
7 archiabllem.t . . . . 5 < = (lt‘𝑊)
8 archiabllem.m . . . . 5 · = (.g𝑊)
913ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ oGrp)
10 archiabllem.a . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Archi)
11103ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑊 ∈ Archi)
12 archiabllem2.1 . . . . 5 + = (+g𝑊)
13 archiabllem2.2 . . . . . 6 (𝜑 → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
14133ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (oppg𝑊) ∈ oGrp)
15 simp1 1054 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝜑)
16 archiabllem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
1715, 16syl3an1 1351 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ 𝑎𝐵0 < 𝑎) → ∃𝑏𝐵 ( 0 < 𝑏𝑏 < 𝑎))
18 simp2 1055 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑥𝐵)
19 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
204, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19archiabllem2b 29081 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
21203expb 1258 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
2221ralrimivva 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
234, 12isabl2 18024 . 2 (𝑊 ∈ Abel ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥)))
243, 22, 23sylanbrc 695 1 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  lecple 15775  0gc0g 15923  ltcplt 16764  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  oppgcoppg 17598  Abelcabl 18017  oGrpcogrp 29029  Archicarchi 29062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-ple 15788  df-0g 15925  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-oppg 17599  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-omnd 29030  df-ogrp 29031  df-inftm 29063  df-archi 29064 This theorem is referenced by:  archiabl  29083
 Copyright terms: Public domain W3C validator