Theorem an33rean 1438

Description: Rearrange a 9-fold conjunction. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
an33rean	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ∧ (𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁))))

Proof of Theorem an33rean

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ↔ (𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)))
2		3anan12 1044	. . 3 ⊢ ((𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ (𝜏 ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)))
3		3anrev 1042	. . . 4 ⊢ ((𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌) ↔ (𝜌 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁))
4		3anass 1035	. . . 4 ⊢ ((𝜌 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁) ↔ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)))
5	3, 4	bitri 263	. . 3 ⊢ ((𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌) ↔ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)))
6	1, 2, 5	3anbi123i 1244	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ∧ (𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ (𝜏 ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))))
7		3an6 1401	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜒)) ∧ (𝜏 ∧ (𝜃 ∧ 𝜂)) ∧ (𝜌 ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))))
8		an4 861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)))
9	8	anbi2i 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁))))
10		3anass 1035	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))))
11		3anass 1035	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ ((𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁))))
12	9, 10, 11	3bitr4i 291	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)))
13		an4 861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎)))
14	13	anbi1i 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)))
15		df-3an 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)))
16		df-3an 1033	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎)) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)))
17	14, 15, 16	3bitr4i 291	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)))
18		3ancomb 1040	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜂) ↔ (𝜓 ∧ 𝜂 ∧ 𝜒))
19	18	anbi1i 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜂) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜂 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁)))
20		3an6 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜂) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁)))
21		3an6 1401	. . . . 5 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜂 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜎 ∧ 𝜁)))
22	19, 20, 21	3bitr4i 291	. . . 4 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜒 ∧ 𝜎) ∧ (𝜂 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)))
23	12, 17, 22	3bitri 285	. . 3 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁)) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁)))
24	23	anbi2i 726	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜂) ∧ (𝜎 ∧ 𝜁))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁))))
25	6, 7, 24	3bitri 285	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓 ∧ 𝜒) ∧ (𝜃 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ∧ (𝜁 ∧ 𝜎 ∧ 𝜌)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝜏 ∧ 𝜌) ∧ ((𝜓 ∧ 𝜃) ∧ (𝜂 ∧ 𝜎) ∧ (𝜒 ∧ 𝜁))))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-an 385  df-3an 1033

This theorem is referenced by:  trgcgrg  25210