MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  algcvgblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algcvgblem 15128
Description: Lemma for algcvgb 15129. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
algcvgblem ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))

Proof of Theorem algcvgblem
StepHypRef Expression
1 imor 427 . . . . 5 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀))
2 0re 9919 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
3 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 ltnle 9996 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
62, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 0))
7 nn0le0eq0 11198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
87notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
98adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ≤ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
106, 9bitrd 267 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 0))
11 df-ne 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1210, 11syl6bbr 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
1312anbi2d 736 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) ↔ (¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0)))
14 nne 2786 . . . . . . . . . . 11 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0)
15 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1614, 15sylbi 206 . . . . . . . . . 10 𝑁 ≠ 0 → (𝑁 < 𝑀 ↔ 0 < 𝑀))
1716biimpar 501 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 0 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
1813, 17syl6bir 243 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 < 𝑀))
1918expd 451 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
20 ax-1 6 . . . . . . 7 (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
2119, 20jctir 559 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
22 jaob 818 . . . . . 6 (((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ↔ ((¬ 𝑁 ≠ 0 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)) ∧ (𝑁 < 𝑀 → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))))
2321, 22sylibr 223 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((¬ 𝑁 ≠ 0 ∨ 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
241, 23syl5bi 231 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀)))
25 nn0ge0 11195 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑁)
27 nn0re 11178 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
28 lelttr 10007 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
292, 28mp3an1 1403 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
3027, 3, 29syl2anr 494 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
3126, 30mpand 707 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀 → 0 < 𝑀))
3231, 12sylibd 228 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 < 𝑀𝑀 ≠ 0))
3332imim2d 55 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
3424, 33jcad 554 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
35 pm3.34 608 . . 3 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)) → (𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀))
3634, 35impbid1 214 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))))
37 con34b 305 . . . 4 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
38 df-ne 2782 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑁 = 0)
3938, 11imbi12i 339 . . . 4 ((𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑁 = 0 → ¬ 𝑀 = 0))
4037, 39bitr4i 266 . . 3 ((𝑀 = 0 → 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0))
4140anbi2i 726 . 2 (((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0)) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑁 ≠ 0 → 𝑀 ≠ 0)))
4236, 41syl6bbr 277 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ↔ ((𝑀 ≠ 0 → 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑀 = 0 → 𝑁 = 0))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  cle 9954  0cn0 11169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170
This theorem is referenced by:  algcvgb  15129
  Copyright terms: Public domain W3C validator