Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aleph1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aleph1 9272
 Description: The set exponentiation of 2 to the aleph-zero has cardinality of at least aleph-one. (If we were to assume the Continuum Hypothesis, their cardinalities would be the same.) (Contributed by NM, 7-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
aleph1 (ℵ‘1𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))

Proof of Theorem aleph1
StepHypRef Expression
1 df-1o 7447 . . 3 1𝑜 = suc ∅
21fveq2i 6106 . 2 (ℵ‘1𝑜) = (ℵ‘suc ∅)
3 alephsucpw 9271 . . 3 (ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅)
4 fvex 6113 . . . . 5 (ℵ‘∅) ∈ V
54pw2en 7952 . . . 4 𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))
6 domen2 7988 . . . 4 (𝒫 (ℵ‘∅) ≈ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅)) → ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))))
75, 6ax-mp 5 . . 3 ((ℵ‘suc ∅) ≼ 𝒫 (ℵ‘∅) ↔ (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅)))
83, 7mpbi 219 . 2 (ℵ‘suc ∅) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))
92, 8eqbrtri 4604 1 (ℵ‘1𝑜) ≼ (2𝑜𝑚 (ℵ‘∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  suc csuc 5642  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  ℵcale 8645 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-har 8346  df-card 8648  df-aleph 8649  df-ac 8822 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator