MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addlsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addlsub 10326
Description: Left-subtraction: Subtraction of the left summand from the result of an addition. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
addlsub.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addlsub.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addlsub.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
addlsub (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem addlsub
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵))
2 addlsub.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addlsub.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42, 3pncand 10272 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5 eqtr2 2630 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → (𝐶𝐵) = 𝐴)
65eqcomd 2616 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶𝐵))
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) ∧ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴) → 𝐴 = (𝐶𝐵)))
84, 7mpan2d 706 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = (𝐶𝐵) → 𝐴 = (𝐶𝐵)))
91, 8syl5 33 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
10 oveq1 6556 . . 3 (𝐴 = (𝐶𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵))
11 addlsub.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211, 3npcand 10275 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶)
13 eqtr 2629 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶)
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) ∧ ((𝐶𝐵) + 𝐵) = 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
1512, 14mpan2d 706 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = ((𝐶𝐵) + 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
1610, 15syl5 33 . 2 (𝜑 → (𝐴 = (𝐶𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = 𝐶))
179, 16impbid 201 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = 𝐶𝐴 = (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813   + caddc 9818  cmin 10145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147
This theorem is referenced by:  addrsub  10327  subexsub  10328  nn0ob  14938  bj-lineq  32335  blen1b  42180  nn0sumshdiglem1  42213
  Copyright terms: Public domain W3C validator