Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: If adding a number to a another number yields the other number, the added number must be 0. This shows that 0 is the unique (right) identity of the complex numbers. (Contributed by AV, 17-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
addid0 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))

StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑋 ∈ ℂ)
2 simpr 476 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → 𝑌 ∈ ℂ)
31, 1, 2subaddd 10289 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌 ↔ (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
4 eqcom 2617 . . . . 5 ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = (𝑋𝑋))
5 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = (𝑋𝑋))
6 subid 10179 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋𝑋) = 0)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → (𝑋𝑋) = 0)
85, 7eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = (𝑋𝑋)) → 𝑌 = 0)
98ex 449 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = (𝑋𝑋) → 𝑌 = 0))
104, 9syl5bi 231 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
1110adantr 480 . . 3 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋𝑋) = 𝑌𝑌 = 0))
123, 11sylbird 249 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
13 oveq2 6557 . . . . 5 (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + 0))
14 addid1 10095 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑋 + 0) = 𝑋)
1513, 14sylan9eqr 2666 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 = 0) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
1615ex 449 . . 3 (𝑋 ∈ ℂ → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1716adantr 480 . 2 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝑌 = 0 → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋))
1812, 17impbid 201 1 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑌) = 𝑋𝑌 = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147 This theorem is referenced by:  addn0nid  10330
 Copyright terms: Public domain W3C validator