MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpi 9593
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpi ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)

Proof of Theorem addclpi
StepHypRef Expression
1 addpiord 9585 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
2 pinn 9579 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
3 pinn 9579 . . . . 5 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
4 nnacl 7578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
53, 4sylan2 490 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
6 elni2 9578 . . . . 5 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
7 nnaordi 7585 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8 ne0i 3880 . . . . . . . 8 ((𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
97, 8syl6 34 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
109expcom 450 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)))
1110imp32 448 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
126, 11sylan2b 491 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅)
13 elni 9577 . . . 4 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N ↔ ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω ∧ (𝐴 +𝑜 𝐵) ≠ ∅))
145, 12, 13sylanbrc 695 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
152, 14sylan 487 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ N)
161, 15eqeltrd 2688 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) ∈ N)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wne 2780  c0 3874  (class class class)co 6549  ωcom 6957   +𝑜 coa 7444  Ncnpi 9545   +N cpli 9546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451  df-ni 9573  df-pli 9574
This theorem is referenced by:  addasspi  9596  distrpi  9599  addcanpi  9600  ltapi  9604  1lt2pi  9606  indpi  9608  addpqf  9645  adderpqlem  9655  addassnq  9659  distrnq  9662  1lt2nq  9674  archnq  9681  prlem934  9734
  Copyright terms: Public domain W3C validator