Theorem add4 10135

Description: Rearrangement of 4 terms in a sum. (Contributed by NM, 13-Nov-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
add4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Proof of Theorem add4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		add12 10132	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
2	1	3expb 1258	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐶 + (𝐵 + 𝐷)))
3	2	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
4	3	adantll 746	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
5		addcl 9897	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
6		addass 9902	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
7	6	3expa 1257	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
8	5, 7	sylan2 490	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐵 + (𝐶 + 𝐷))))
9		addcl 9897	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ)
10		addass 9902	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
11	10	3expa 1257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 + 𝐷) ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
12	9, 11	sylan2 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
13	12	an4s 865	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)) = (𝐴 + (𝐶 + (𝐵 + 𝐷))))
14	4, 8, 13	3eqtr4d 2654	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  add42  10136  add4i  10139  add4d  10143  3dvds2dec  14894  3dvds2decOLD  14895  opoe  14925  ptolemy  24052