Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvfge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvfge0 18645
 Description: An absolute value is a function from the ring to the nonnegative real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvfge0 (𝐹𝐴𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem abvfge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 18644 . . . 4 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 abvf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 eqid 2610 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 eqid 2610 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
71, 3, 4, 5, 6isabv 18642 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐹𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))))))
82, 7syl 17 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦)))))))
98ibi 255 . 2 (𝐹𝐴 → (𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝐵 (((𝐹𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = (0g𝑅)) ∧ ∀𝑦𝐵 ((𝐹‘(𝑥(.r𝑅)𝑦)) = ((𝐹𝑥) · (𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(𝑥(+g𝑅)𝑦)) ≤ ((𝐹𝑥) + (𝐹𝑦))))))
109simpld 474 1 (𝐹𝐴𝐹:𝐵⟶(0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  AbsValcabv 18639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-abv 18640 This theorem is referenced by:  abvf  18646  abvge0  18648
 Copyright terms: Public domain W3C validator