Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmax 13917
 Description: The maximum of two numbers using absolute value. (Contributed by NM, 7-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absmax ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))

Proof of Theorem absmax
StepHypRef Expression
1 recn 9905 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
3 2ne0 10990 . . . . . . 7 2 ≠ 0
4 divcan3 10590 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
52, 3, 4mp3an23 1408 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
76ad2antlr 759 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
8 ltle 10005 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
98imp 444 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
10 abssubge0 13915 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
11103expa 1257 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
129, 11syldan 486 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
1312oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)))
14 recn 9905 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16, 15ppncand 10311 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (𝐴 + 𝐴))
18 2times 11022 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
1918adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
2017, 19eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
2114, 1, 20syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
2221adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴𝐵)) = (2 · 𝐴))
2313, 22eqtrd 2644 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = (2 · 𝐴))
2423oveq1d 6564 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐴) / 2))
25 ltnle 9996 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
2625biimpa 500 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
2726iffalsed 4047 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐴)
287, 24, 273eqtr4rd 2655 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
2928ancom1s 843 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 < 𝐴) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
30 divcan3 10590 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
312, 3, 30mp3an23 1408 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3214, 31syl 17 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
3332ad2antlr 759 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((2 · 𝐵) / 2) = 𝐵)
34 abssuble0 13916 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
35343expa 1257 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (𝐵𝐴))
3635oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)))
37 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3937, 38, 37ppncand 10311 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵𝐴)) = (𝐵 + 𝐵))
40 addcom 10101 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
4140oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵𝐴)))
42 2times 11022 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
4439, 41, 433eqtr4d 2654 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = (2 · 𝐵))
451, 14, 44syl2an 493 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = (2 · 𝐵))
4645adantr 480 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐵𝐴)) = (2 · 𝐵))
4736, 46eqtrd 2644 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) = (2 · 𝐵))
4847oveq1d 6564 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) = ((2 · 𝐵) / 2))
49 iftrue 4042 . . . 4 (𝐴𝐵 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5049adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
5133, 48, 503eqtr4rd 2655 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴𝐵) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
52 simpr 476 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
53 simpl 472 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
5429, 51, 52, 53ltlecasei 10024 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator