Theorem abn0 3908

Description: Nonempty class abstraction. See also ab0 3905. (Contributed by NM, 26-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
abn0	⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)

Proof of Theorem abn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfab1 2753	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ 𝜑}
2	1	n0f 3886	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑})
3		abid 2598	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
4	3	exbii 1764	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ ∃𝑥𝜑)
5	2, 4	bitri 263	1 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝜑)

Syntax hints:   ↔ wb 195  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780  ∅c0 3874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-v 3175  df-dif 3543  df-nul 3875

This theorem is referenced by:  rabn0OLD  3913  intexab  4749  iinexg  4751  relimasn  5407  inisegn0  5416  mapprc  7748  modom  8046  tz9.1c  8489  scott0  8632  scott0s  8634  cp  8637  karden  8641  acnrcl  8748  aceq3lem  8826  cff  8953  cff1  8963  cfss  8970  domtriomlem  9147  axdclem  9224  nqpr  9715  supadd  10868  supmul  10872  hashf1lem2  13097  hashf1  13098  mreiincl  16079  efgval  17953  efger  17954  birthdaylem3  24480  disjex  28787  disjexc  28788  mppsval  30723  mblfinlem3  32618  ismblfin  32620  itg2addnc  32634  sdclem1  32709  upbdrech  38460