MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablsubsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablsubsub 18046
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ablsubadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsubadd.p + = (+g𝐺)
ablsubadd.m = (-g𝐺)
ablsubsub.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablsubsub.x (𝜑𝑋𝐵)
ablsubsub.y (𝜑𝑌𝐵)
ablsubsub.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
ablsubsub (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem ablsubsub
StepHypRef Expression
1 ablsubsub.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18021 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 ablsubsub.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 ablsubsub.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
6 ablsubsub.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
7 ablsubadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 ablsubadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
9 ablsubadd.m . . . 4 = (-g𝐺)
107, 8, 9grpsubsub 17327 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
113, 4, 5, 6, 10syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
127, 8, 9grpaddsubass 17328 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
133, 4, 6, 5, 12syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = (𝑋 + (𝑍 𝑌)))
147, 8, 9abladdsub 18043 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
151, 4, 6, 5, 14syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
1611, 13, 153eqtr2d 2650 1 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = ((𝑋 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Abelcabl 18017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019
This theorem is referenced by:  ablsubsub4  18047  ablnncan  18049  ip2subdi  19808
  Copyright terms: Public domain W3C validator