Theorem 4sqlem4 15494

Description: Lemma for 4sq 15506. We can express the four-square property more compactly in terms of gaussian integers, because the norms of gaussian integers are exactly sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}

Assertion

Ref	Expression
4sqlem4	⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝐴,𝑢   𝑆,𝑛,𝑢,𝑣   𝑢,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
2	1	4sqlem2 15491	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
3		gzreim 15481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i])
5		gzreim 15481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i])
7		gzcn 15474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
8	3, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
9	8	absvalsq2d 14030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)))
10		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
11		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℝ)
12		crre 13702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
13	10, 11, 12	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑎)
14	13	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑎↑2))
15		crim 13703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
16	10, 11, 15	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏))) = 𝑏)
17	16	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = (𝑏↑2))
18	14, 17	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((ℑ‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2)) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
19	9, 18	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) = ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)))
20		gzcn 15474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℂ)
22	21	absvalsq2d 14030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
23		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℝ)
24		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℝ)
25		crre 13702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
26	23, 24, 25	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑐)
27	26	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑐↑2))
28		crim 13703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
29	23, 24, 28	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑))) = 𝑑)
30	29	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = (𝑑↑2))
31	27, 30	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) + ((ℑ‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
32	22, 31	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
33	19, 32	oveqan12d 6568	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)) = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))))
34	33	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
35		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (abs‘𝑢) = (abs‘(𝑎 + (i · 𝑏))))
36	35	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((abs‘𝑢)↑2) = ((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2))
37	36	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
38	37	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
39		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (abs‘𝑣) = (abs‘(𝑐 + (i · 𝑑))))
40	39	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((abs‘𝑣)↑2) = ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))
41	40	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2)))
42	41	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = (𝑐 + (i · 𝑑)) → ((((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))))
43	38, 42	rspc2ev 3295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℤ[i] ∧ (𝑐 + (i · 𝑑)) ∈ ℤ[i] ∧ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘(𝑎 + (i · 𝑏)))↑2) + ((abs‘(𝑐 + (i · 𝑑)))↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
44	4, 6, 34, 43	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
45		eqeq1 2614	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
46	45	2rexbidv 3039	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
47	44, 46	syl5ibrcom 236	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
48	47	rexlimdvva 3020	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2))))
49	48	rexlimivv 3018	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐴 = (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) + ((𝑐↑2) + (𝑑↑2))) → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
50	2, 49	sylbi 206	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))
51	1	4sqlem4a 15493	. . . 4 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆)
52		eleq1a 2683	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) ∈ 𝑆 → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℤ[i] ∧ 𝑣 ∈ ℤ[i]) → (𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆))
54	53	rexlimivv 3018	. 2 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
55	50, 54	impbii 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ[i] ∃𝑣 ∈ ℤ[i] 𝐴 = (((abs‘𝑢)↑2) + ((abs‘𝑣)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  ℜcre 13685  ℑcim 13686  abscabs 13822  ℤ[i]cgz 15471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-gz 15472

This theorem is referenced by:  mul4sq  15496