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Theorem 3pthdlem1 41331
 Description: Lemma 1 for 3pthd 41341. (Contributed by AV, 9-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
31wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
31wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
31wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
31wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
3pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑘,𝑉   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐽(𝑗)   𝐾(𝑗)   𝐿(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 3pthdlem1
StepHypRef Expression
1 31wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 31wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 31wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 331wlkdlem3 41328 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 31wlkd.n . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
6 simpr1l 1111 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐵)
7 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
9 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘1) = 𝐵)
118, 10neeq12d 2843 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
1211adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
136, 12mpbird 246 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 simpr1r 1112 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐴𝐶)
16 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘2) = 𝐶)
1716adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘2) = 𝐶)
188, 17neeq12d 2843 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
1918adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐴𝐶))
2015, 19mpbird 246 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
2120a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
2214, 21jca 553 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
23 eqid 2610 . . . . . . . 8 1 = 1
24232a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) = (𝑃‘1) → 1 = 1))
2524necon3d 2803 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
26 simpr2l 1113 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐶)
2710, 17neeq12d 2843 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2827adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵𝐶))
2926, 28mpbird 246 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
3029a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
3125, 30jca 553 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
3229necomd 2837 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
3332a1d 25 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
34 eqid 2610 . . . . . . . 8 2 = 2
35342a1i 12 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘2) = (𝑃‘2) → 2 = 2))
3635necon3d 2803 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
37 simpr2r 1114 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐵𝐷)
38 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → (𝑃‘3) = 𝐷)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (𝑃‘3) = 𝐷)
4010, 39neeq12d 2843 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ↔ 𝐵𝐷))
4237, 41mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
4342necomd 2837 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))
4443a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
45 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐶𝐷)
4645necomd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → 𝐷𝐶)
4746adantl 481 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐷𝐶)
48 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘3) = 𝐷)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
5048, 49neeq12d 2843 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘3) = 𝐷 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5150ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5251adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5352adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐷𝐶))
5447, 53mpbird 246 . . . . . . . 8 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))
5554a1d 25 . . . . . . 7 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
5644, 55jca 553 . . . . . 6 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
5733, 36, 56jca31 555 . . . . 5 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
5822, 31, 57jca31 555 . . . 4 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
594, 5, 58syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
601fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (#‘𝑃) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
61 s4len 13494 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩) = 4
6260, 61eqtri 2632 . . . . . . 7 (#‘𝑃) = 4
6362oveq2i 6560 . . . . . 6 (0..^(#‘𝑃)) = (0..^4)
64 fzo0to42pr 12422 . . . . . 6 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6563, 64eqtri 2632 . . . . 5 (0..^(#‘𝑃)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
6665raleqi 3119 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
67 ralunb 3756 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))))
68 c0ex 9913 . . . . . 6 0 ∈ V
69 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
70 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
71 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
7271neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
7370, 72imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
74 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 0 ≠ 2))
7571neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
7674, 75imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))))
7773, 76anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))))
78 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
79 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
8079neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
8178, 80imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
82 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
8379neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
8482, 83imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
8581, 84anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
8668, 69, 77, 85ralpr 4185 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
87 2ex 10969 . . . . . 6 2 ∈ V
88 3ex 10973 . . . . . 6 3 ∈ V
89 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
90 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
9190neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
9289, 91imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
93 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 2 ≠ 2))
9490neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))
9593, 94imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))))
9692, 95anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2)))))
97 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 3 ≠ 1))
98 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
9998neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)))
10097, 99imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1))))
101 neeq1 2844 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → (𝑘 ≠ 2 ↔ 3 ≠ 2))
10298neeq1d 2841 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))
103101, 102imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑘 = 3 → ((𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))
104100, 103anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑘 = 3 → (((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10587, 88, 96, 104ralpr 4185 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2)))))
10686, 105anbi12i 729 . . . 4 ((∀𝑘 ∈ {0, 1} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10766, 67, 1063bitri 285 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))) ↔ ((((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (0 ≠ 2 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 2 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ∧ (((2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 2 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘2))) ∧ ((3 ≠ 1 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (3 ≠ 2 → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘2))))))
10859, 107sylibr 223 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
1092fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩)
110 s3len 13489 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩) = 3
111109, 110eqtri 2632 . . . . . . 7 (#‘𝐹) = 3
112111oveq2i 6560 . . . . . 6 (1..^(#‘𝐹)) = (1..^3)
113 fzo13pr 12419 . . . . . 6 (1..^3) = {1, 2}
114112, 113eqtri 2632 . . . . 5 (1..^(#‘𝐹)) = {1, 2}
115114raleqi 3119 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
116 neeq2 2845 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
117 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
118117neeq2d 2842 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
119116, 118imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
120 neeq2 2845 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 2))
121 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘2))
122121neeq2d 2842 . . . . . 6 (𝑗 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2)))
123120, 122imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 2 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
12469, 87, 119, 123ralpr 4185 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1, 2} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
125115, 124bitri 263 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
126125ralbii 2963 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (𝑘 ≠ 2 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘2))))
127108, 126sylibr 223 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∪ cun 3538  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  ..^cfzo 12334  #chash 12979  ⟨“cs3 13438  ⟨“cs4 13439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446 This theorem is referenced by:  3pthd  41341
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