MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3prm 15244
Description: 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
3prm 3 ∈ ℙ

Proof of Theorem 3prm
StepHypRef Expression
1 3z 11287 . . 3 3 ∈ ℤ
2 1lt3 11073 . . 3 1 < 3
3 eluz2b1 11635 . . 3 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 1 < 3))
41, 2, 3mpbir2an 957 . 2 3 ∈ (ℤ‘2)
5 elfz1eq 12223 . . . . 5 (𝑧 ∈ (2...2) → 𝑧 = 2)
6 2z 11286 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
7 iddvds 14833 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
8 2nn 11062 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
9 1lt2 11071 . . . . . . . . 9 1 < 2
10 ndvdsp1 14973 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1)))
116, 8, 9, 10mp3an 1416 . . . . . . . 8 (2 ∥ 2 → ¬ 2 ∥ (2 + 1))
126, 7, 11mp2b 10 . . . . . . 7 ¬ 2 ∥ (2 + 1)
13 df-3 10957 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
1413breq2i 4591 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (2 + 1))
1512, 14mtbir 312 . . . . . 6 ¬ 2 ∥ 3
16 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑧 = 2 → (𝑧 ∥ 3 ↔ 2 ∥ 3))
1715, 16mtbiri 316 . . . . 5 (𝑧 = 2 → ¬ 𝑧 ∥ 3)
185, 17syl 17 . . . 4 (𝑧 ∈ (2...2) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
19 3m1e2 11014 . . . . 5 (3 − 1) = 2
2019oveq2i 6560 . . . 4 (2...(3 − 1)) = (2...2)
2118, 20eleq2s 2706 . . 3 (𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 3)
2221rgen 2906 . 2 𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3
23 isprm3 15234 . 2 (3 ∈ ℙ ↔ (3 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(3 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 3))
244, 22, 23mpbir2an 957 1 3 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224
This theorem is referenced by:  3lcm2e6  15278  prmo3  15583  4001lem4  15689  lt6abl  18119  ppi3  24697  cht3  24699  bpos1  24808  fmtno0prm  40008  m2prm  40043  6gbe  40193  7gbo  40194  8gbe  40195  9gboa  40196  11gboa  40197  bgoldbwt  40199  bgoldbst  40200  nnsum3primesle9  40210  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  zlmodzxznm  42080
  Copyright terms: Public domain W3C validator