Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dim2 33772
 Description: Construct 2 new layers on top of 2 given atoms. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝐴   ,𝑟,𝑠   ,𝑟,𝑠   𝑃,𝑟,𝑠   𝑄,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem 3dim2
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . . 4 = (join‘𝐾)
2 3dim0.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 3dim0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 33dim1 33771 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
543adant2 1073 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
6 simpl21 1132 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝐴)
7 simpl22 1133 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑣𝐴)
8 simp31 1090 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝑢)
98necomd 2837 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝑄)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → 𝑢𝑄)
11 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
12 simp11 1084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp13 1086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑄𝐴)
141, 3hlatjidm 33673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1512, 13, 14syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
1611, 15sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
1716breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 𝑄))
1817notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 𝑄))
19 hlatl 33665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2012, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝐾 ∈ AtLat)
21 simp21 1087 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑢𝐴)
222, 3atncmp 33617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑢𝐴𝑄𝐴) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2320, 21, 13, 22syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 𝑄𝑢𝑄))
2518, 24bitrd 267 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢𝑄))
2610, 25mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄))
27 simpl32 1136 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
2816oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑢) = (𝑄 𝑢))
2928breq2d 4595 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
3027, 29mtbird 314 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))
31 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
3231notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄)))
33 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑢 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑢))
3433breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑢 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3534notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑢 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3632, 35anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑢 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
37 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3837notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
3938anbi2d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑣 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
4036, 39rspc2ev 3295 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐴𝑣𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
416, 7, 26, 30, 40syl112anc 1322 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
42 simp22 1088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑣𝐴)
43 simp23 1089 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → 𝑤𝐴)
4442, 43jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
4544ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑣𝐴𝑤𝐴))
46 simpll1 1093 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
47 simp32 1091 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))
48 simp33 1092 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
4921, 47, 483jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
5049ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
51 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃𝑄)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → 𝑃 (𝑄 𝑢))
531, 2, 33dimlem2 33763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) ∧ (𝑃𝑄𝑃 (𝑄 𝑢))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5446, 50, 51, 52, 53syl112anc 1322 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
55 3simpc 1053 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
57 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
5857notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ ¬ 𝑣 (𝑃 𝑄)))
59 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑣 → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = ((𝑃 𝑄) 𝑣))
6059breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑣 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6160notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑣 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6258, 61anbi12d 743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑣 → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
63 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣)))
6564anbi2d 736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑣)) ↔ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))))
6662, 65rspc2ev 3295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
67663expa 1257 . . . . . . . . . 10 (((𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑣 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6845, 56, 67syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6921, 43jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
7069ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑤𝐴))
71 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
7221, 42jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
738, 48jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)))
7471, 72, 733jca 1235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
7574ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))))
76 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
77 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
78 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
791, 2, 33dimlem3 33765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8075, 76, 77, 78, 79syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
81 3simpc 1053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
83 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑤 → (𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8483notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑤 → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢) ↔ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
8584anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑤 → ((¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) ↔ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))))
8636, 85rspc2ev 3295 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝐴𝑤𝐴 ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
87863expa 1257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑤𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8870, 82, 87syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
8972ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑢𝐴𝑣𝐴))
908, 47jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢)))
9171, 72, 903jca 1235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
9291ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))))
93 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → 𝑃𝑄)
94 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢))
95 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣))
961, 2, 33dimlem4 33768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢))) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9792, 93, 94, 95, 96syl121anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
98 3simpc 1053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢)))
100403expa 1257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (¬ 𝑢 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑣 ((𝑃 𝑄) 𝑢))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10189, 99, 100syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) ∧ ¬ 𝑃 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10288, 101pm2.61dan 828 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑢)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10368, 102pm2.61dan 828 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) ∧ 𝑃𝑄) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
10441, 103pm2.61dane 2869 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) ∧ (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣))) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
1051043exp 1256 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴) → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
1061053expd 1276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑢𝐴 → (𝑣𝐴 → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))))
107106imp32 448 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑤𝐴 → ((𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))))
108107rexlimdv 3012 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (∃𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
109108rexlimdvva 3020 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (∃𝑢𝐴𝑣𝐴𝑤𝐴 (𝑄𝑢 ∧ ¬ 𝑣 (𝑄 𝑢) ∧ ¬ 𝑤 ((𝑄 𝑢) 𝑣)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))))
1105, 109mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656 This theorem is referenced by:  3dim3  33773  lhp2lt  34305
 Copyright terms: Public domain W3C validator