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Theorem 3dim0 33761
Description: There exists a 3-dimensional (height-4) element i.e. a volume. (Contributed by NM, 25-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dim0 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝑟,𝑠,𝐴   ,𝑟,𝑠   𝐾,𝑝,𝑞,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   (𝑞,𝑝)   (𝑠,𝑟,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem 3dim0
StepHypRef Expression
1 3dim0.j . . 3 = (join‘𝐾)
2 eqid 2610 . . 3 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
3 3dim0.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
41, 2, 3athgt 33760 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
5 df-3an 1033 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
6 simpll1 1093 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
7 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
87, 1, 3hlatjcl 33671 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
98ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾))
10 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟𝐴)
11 3dim0.l . . . . . . . . . . . . . 14 = (le‘𝐾)
127, 11, 1, 2, 3cvr1 33714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
136, 9, 10, 12syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ↔ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)))
1413anbi2d 736 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟))))
15 hllat 33668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
177, 3atbase 33594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1817ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
197, 1latjcl 16874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 𝑞) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
2016, 9, 18, 19syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
21 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
227, 11, 1, 2, 3cvr1 33714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
236, 20, 21, 22syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟) ↔ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
2414, 23anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞)) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
255, 24syl5bb 271 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2625rexbidva 3031 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
27 r19.42v 3073 . . . . . . . . 9 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))
28 anass 679 . . . . . . . . 9 (((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
2927, 28bitri 263 . . . . . . . 8 (∃𝑠𝐴 ((𝑝𝑞 ∧ (𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟)) ∧ ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
3026, 29syl6bb 275 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑟𝐴) → (∃𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3130rexbidva 3031 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
32 r19.42v 3073 . . . . . 6 (∃𝑟𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))))
3331, 32syl6bb 275 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
341, 2, 3atcvr1 33721 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞)))
3534anbi1d 737 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞 ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠))) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
3633, 35bitrd 267 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
37363expb 1258 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
38372rexbidva 3038 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)) ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝( ⋖ ‘𝐾)(𝑝 𝑞) ∧ ∃𝑟𝐴 ((𝑝 𝑞)( ⋖ ‘𝐾)((𝑝 𝑞) 𝑟) ∧ ∃𝑠𝐴 ((𝑝 𝑞) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑝 𝑞) 𝑟) 𝑠)))))
394, 38mpbird 246 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑟 (𝑝 𝑞) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑝 𝑞) 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656
This theorem is referenced by:  3dim1  33771
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