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Theorem 31wlkdlem6 41332
 Description: Lemma 6 for 31wlkd 41337. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
31wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
31wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
31wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
31wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
31wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
Assertion
Ref Expression
31wlkdlem6 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))

Proof of Theorem 31wlkdlem6
StepHypRef Expression
1 31wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 31wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 31wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
41, 2, 331wlkdlem3 41328 . . . 4 (𝜑 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)))
5 31wlkd.e . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 preq12 4214 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, 𝐵})
76sseq1d 3595 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
87adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽)))
9 preq12 4214 . . . . . . . 8 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
109ad2ant2lr 780 . . . . . . 7 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝐵, 𝐶})
1110sseq1d 3595 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
12 preq12 4214 . . . . . . . 8 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {𝐶, 𝐷})
1312sseq1d 3595 . . . . . . 7 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
1413adantl 481 . . . . . 6 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) ↔ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
158, 11, 143anbi123d 1391 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿))))
165, 15syl5ibrcom 236 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))))
174, 16mpd 15 . . 3 (𝜑 → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)))
18 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑃‘0) ∈ V
19 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑃‘1) ∈ V
2018, 19prss 4291 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽))
21 simpl 472 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
2220, 21sylbir 224 . . . 4 ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) → (𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽))
23 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑃‘2) ∈ V
2419, 23prss 4291 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾))
25 simpl 472 . . . . 5 (((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐾)) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
2624, 25sylbir 224 . . . 4 ({(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) → (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾))
27 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑃‘3) ∈ V
2823, 27prss 4291 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿))
29 simpl 472 . . . . 5 (((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ∧ (𝑃‘3) ∈ (𝐼𝐿)) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3028, 29sylbir 224 . . . 4 ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿) → (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))
3122, 26, 303anim123i 1240 . . 3 (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ⊆ (𝐼𝐿)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
3217, 31syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)))
33 eleq1 2676 . . . . . . 7 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3433adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
3534adantr 480 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ↔ 𝐴 ∈ (𝐼𝐽)))
36 eleq1 2676 . . . . . . 7 ((𝑃‘1) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3736adantl 481 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
3837adantr 480 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ↔ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾)))
39 eleq1 2676 . . . . . . 7 ((𝑃‘2) = 𝐶 → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4039adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4140adantl 481 . . . . 5 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿) ↔ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
4235, 38, 413anbi123d 1391 . . . 4 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → (((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿))))
4342bicomd 212 . . 3 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∧ ((𝑃‘2) = 𝐶 ∧ (𝑃‘3) = 𝐷)) → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
444, 43syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (𝐼𝐽) ∧ (𝑃‘1) ∈ (𝐼𝐾) ∧ (𝑃‘2) ∈ (𝐼𝐿))))
4532, 44mpbird 246 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐼𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼𝐾) ∧ 𝐶 ∈ (𝐼𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  ⟨“cs3 13438  ⟨“cs4 13439 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446 This theorem is referenced by:  31wlkdlem7  41333
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