Proof of Theorem 2reu1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 2reu5a 39826 |
. . . . . . 7
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))) |
2 | 1 | simprbi 479 |
. . . . . 6
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
3 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) |
4 | | rsp 2913 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
5 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((∀𝑥 ∈
𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
6 | 5 | impcom 445 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) |
7 | 3, 6 | jca 553 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
8 | 7 | ex 449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))) |
9 | 8 | rmoimia 3375 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃*𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
10 | | nfra1 2925 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 |
11 | 10 | rmoanim 39828 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃*𝑥 ∈
𝐴 (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
12 | 9, 11 | sylib 207 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃*𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
13 | 12 | ancrd 575 |
. . . . . . 7
⊢
(∃*𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))) |
14 | | 2rmoswap 39833 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) |
15 | 14 | com12 32 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃*𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) |
16 | 15 | imdistani 722 |
. . . . . . 7
⊢
((∃*𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) |
17 | 13, 16 | syl6 34 |
. . . . . 6
⊢
(∃*𝑥 ∈
𝐴 (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
18 | 2, 17 | syl 17 |
. . . . 5
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
19 | | 2reu2rex 39832 |
. . . . . 6
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) |
20 | | rexcom 3080 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) |
21 | 19, 20 | sylib 207 |
. . . . . 6
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) |
22 | 19, 21 | jca 553 |
. . . . 5
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) |
23 | 18, 22 | jctild 564 |
. . . 4
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))) |
24 | | reu5 3136 |
. . . . . 6
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑)) |
25 | | reu5 3136 |
. . . . . 6
⊢
(∃!𝑦 ∈
𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) |
26 | 24, 25 | anbi12i 729 |
. . . . 5
⊢
((∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
27 | | an4 861 |
. . . . 5
⊢
(((∃𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ∧ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
28 | 26, 27 | bitri 263 |
. . . 4
⊢
((∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ((∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∧ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
29 | 23, 28 | syl6ibr 241 |
. . 3
⊢
(∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
30 | 29 | com12 32 |
. 2
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |
31 | | 2rexreu 39834 |
. 2
⊢
((∃!𝑥 ∈
𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) |
32 | 30, 31 | impbid1 214 |
1
⊢
(∀𝑥 ∈
𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃!𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))) |