Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pthfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthfrgr 41454
 Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, tere is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2pthfrgr (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 22pthfrgrrn2 41453 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)))
4 frgrusgr 41432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
5 usgruhgr 40413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
76adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph )
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph )
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph )
10 simpllr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑎𝑉)
11 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑚𝑉)
12 eldifi 3694 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏𝑉)
1312ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → 𝑏𝑉)
1410, 11, 133jca 1235 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉))
159, 14jca 553 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
1615adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)))
17 simprrl 800 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑚)
18 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏𝑉𝑏𝑎))
19 necom 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2019biimpi 205 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎𝑎𝑏)
2118, 20simplbiim 657 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎𝑏)
2221ad3antlr 763 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑎𝑏)
23 simprrr 801 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → 𝑚𝑏)
24 simprl 790 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
251, 22pthon3v-av 41150 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎𝑉𝑚𝑉𝑏𝑉)) ∧ (𝑎𝑚𝑎𝑏𝑚𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
2616, 17, 22, 23, 24, 25syl131anc 1331 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
2726ex 449 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚𝑉) → ((({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
2827rexlimdva 3013 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
2928ralimdva 2945 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
3029ralimdva 2945 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎𝑚𝑚𝑏)) → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2)))
313, 30mpd 15 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎𝑉𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   UHGraph cuhgr 25722  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379  SPathsOncspthson 40922   FriendGraph cfrgr 41428 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-spthson 40926  df-frgr 41429 This theorem is referenced by:  frgrconngr  41464
 Copyright terms: Public domain W3C validator