Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthdlem1 41137
 Description: Lemma 1 for 2pthd 41147. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
21wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
21wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
21wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
21wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
2pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 2pthdlem1
StepHypRef Expression
1 21wlkd.n . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2 21wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3 21wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4 21wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
52, 3, 421wlkdlem3 41134 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
6 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
86, 7neeq12d 2843 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
98bicomd 212 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1093adant3 1074 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1110biimpcd 238 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1312imp 444 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 eqid 2610 . . . . . 6 1 = 1
16 eqneqall 2793 . . . . . 6 (1 = 1 → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
1715, 16mp1i 13 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
18 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
19 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
2018, 19neeq12d 2843 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐶𝐵))
21 necom 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2220, 21syl6rbb 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
23223adant1 1072 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2423biimpcd 238 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2625imp 444 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
2726a1d 25 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2814, 17, 273jca 1235 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
291, 5, 28syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
302fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (#‘𝑃) = (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
31 s3len 13489 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
3230, 31eqtri 2632 . . . . . . 7 (#‘𝑃) = 3
3332oveq2i 6560 . . . . . 6 (0..^(#‘𝑃)) = (0..^3)
34 fzo0to3tp 12421 . . . . . 6 (0..^3) = {0, 1, 2}
3533, 34eqtri 2632 . . . . 5 (0..^(#‘𝑃)) = {0, 1, 2}
3635raleqi 3119 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
37 c0ex 9913 . . . . 5 0 ∈ V
38 1ex 9914 . . . . 5 1 ∈ V
39 2ex 10969 . . . . 5 2 ∈ V
40 neeq1 2844 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
41 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
4241neeq1d 2841 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
4340, 42imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
44 neeq1 2844 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
45 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
4645neeq1d 2841 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
4744, 46imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
48 neeq1 2844 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
49 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
5049neeq1d 2841 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
5148, 50imbi12d 333 . . . . 5 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5237, 38, 39, 43, 47, 51raltp 4187 . . . 4 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5336, 52bitri 263 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5429, 53sylibr 223 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
553fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) = (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
56 s2len 13484 . . . . . . . 8 (#‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
5755, 56eqtri 2632 . . . . . . 7 (#‘𝐹) = 2
5857oveq2i 6560 . . . . . 6 (1..^(#‘𝐹)) = (1..^2)
59 fzo12sn 12418 . . . . . 6 (1..^2) = {1}
6058, 59eqtri 2632 . . . . 5 (1..^(#‘𝐹)) = {1}
6160raleqi 3119 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
62 neeq2 2845 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
63 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
6463neeq2d 2842 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6562, 64imbi12d 333 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
6638, 65ralsn 4169 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6761, 66bitri 263 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6867ralbii 2963 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6954, 68sylibr 223 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {csn 4125  {ctp 4129  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  ..^cfzo 12334  #chash 12979  ⟨“cs2 13437  ⟨“cs3 13438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445 This theorem is referenced by:  2pthd  41147
 Copyright terms: Public domain W3C validator