Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polcon4bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2polcon4bN 34222
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polss.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1 1054 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3 2polss.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 2polss.p . . . . . . . . 9 = (⊥𝑃𝐾)
53, 4polssatN 34212 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
653adant2 1073 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
73, 4polssatN 34212 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
82, 6, 7syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
98adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴)
10 simpr 476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
113, 4polcon3N 34221 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( ‘( 𝑌)) ⊆ 𝐴 ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
121, 9, 10, 11syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))))
1312ex 449 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋)))))
143, 43polN 34220 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
15143adant2 1073 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑌))) = ( 𝑌))
163, 43polN 34220 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
17163adant3 1074 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
1815, 17sseq12d 3597 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( ‘( 𝑌))) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑋))) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
1913, 18sylibd 228 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
20 simpl1 1057 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
213, 4polssatN 34212 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
22213adant3 1074 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
2322adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
24 simpr 476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
253, 4polcon3N 34221 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2726ex 449 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌))))
2819, 27impbid 201 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)) ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  𝑃cpolN 34206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-polarityN 34207
This theorem is referenced by:  paddunN  34231
  Copyright terms: Public domain W3C validator