Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2nodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2nodd 41602
 Description: 2 is not an odd integer. (Contributed by AV, 3-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
oddinmgm.e 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
Assertion
Ref Expression
2nodd 2 ∉ 𝑂
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2nodd
StepHypRef Expression
1 halfnz 11331 . . . . . . . . 9 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) = 𝑥 → ((1 / 2) ∈ ℤ ↔ 𝑥 ∈ ℤ))
31, 2mtbii 315 . . . . . . . 8 ((1 / 2) = 𝑥 → ¬ 𝑥 ∈ ℤ)
43con2i 133 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
5 1cnd 9935 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 zcn 11259 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
7 2cnd 10970 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
8 2ne0 10990 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
98a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
105, 6, 7, 9divmul2d 10713 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
114, 10mtbid 313 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
12 eqcom 2617 . . . . . . . 8 (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
147, 6mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15 subadd2 10164 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ ((2 · 𝑥) + 1) = 2))
1615bicomd 212 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
177, 5, 14, 16syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 2 ↔ (2 − 1) = (2 · 𝑥)))
18 2m1e1 11012 . . . . . . . . 9 (2 − 1) = 1
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ → (2 − 1) = 1)
2019eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 − 1) = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2113, 17, 203bitrd 293 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (2 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
2211, 21mtbird 314 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
2322nrex 2983 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)
2423intnan 951 . . 3 ¬ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1))
25 eqeq1 2614 . . . . 5 (𝑧 = 2 → (𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
2625rexbidv 3034 . . . 4 (𝑧 = 2 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
27 oddinmgm.e . . . 4 𝑂 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = ((2 · 𝑥) + 1)}
2826, 27elrab2 3333 . . 3 (2 ∈ 𝑂 ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 2 = ((2 · 𝑥) + 1)))
2924, 28mtbir 312 . 2 ¬ 2 ∈ 𝑂
3029nelir 2886 1 2 ∉ 𝑂
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  ∃wrex 2897  {crab 2900  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  2c2 10947  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  oddinmgm  41605
 Copyright terms: Public domain W3C validator