Theorem 2exp8 15634

Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2exp8	⊢ (2↑8) = ;;256

Proof of Theorem 2exp8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11186	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		4nn0 11188	. 2 ⊢ 4 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11181	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
4		2cn 10968	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		4t2e8 11058	. . 3 ⊢ (4 · 2) = 8
6	3, 4, 5	mulcomli 9926	. 2 ⊢ (2 · 4) = 8
7		2exp4 15632	. 2 ⊢ (2↑4) = ;16
8		1nn0 11185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
9		6nn0 11190	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11388	. . 3 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
11		eqid 2610	. . 3 ⊢ ;16 = ;16
12		9nn0 11193	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℕ0
13	10	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ ;16 ∈ ℂ
14	13	mulid1i 9921	. . . 4 ⊢ (;16 · 1) = ;16
15		1p1e2 11011	. . . 4 ⊢ (1 + 1) = 2
16		5nn0 11189	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
17		9cn 10985	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℂ
18		6cn 10979	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℂ
19		9p6e15 11500	. . . . 5 ⊢ (9 + 6) = ;15
20	17, 18, 19	addcomli 10107	. . . 4 ⊢ (6 + 9) = ;15
21	8, 9, 12, 14, 15, 16, 20	decaddci 11456	. . 3 ⊢ ((;16 · 1) + 9) = ;25
22		3nn0 11187	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
23	18	mulid2i 9922	. . . . . 6 ⊢ (1 · 6) = 6
24	23	oveq1i 6559	. . . . 5 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
25		6p3e9 11047	. . . . 5 ⊢ (6 + 3) = 9
26	24, 25	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((1 · 6) + 3) = 9
27		6t6e36 11522	. . . 4 ⊢ (6 · 6) = ;36
28	9, 8, 9, 11, 9, 22, 26, 27	decmul1c 11463	. . 3 ⊢ (;16 · 6) = ;96
29	10, 8, 9, 11, 9, 12, 21, 28	decmul2c 11465	. 2 ⊢ (;16 · ;16) = ;;256
30	1, 2, 6, 7, 29	numexp2x 15621	1 ⊢ (2↑8) = ;;256

Syntax hints:   = wceq 1475  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  8c8 10953  9c9 10954  ;cdc 11369  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  2exp16  15635  2503lem1  15682  quart1lem  24382  quart1  24383  fmtno3  40001  fmtno4sqrt  40021  2exp11  40055