Theorem 2Wlklem 40875

Description: Lemma for upgr2wlk 40876 and 2wlklemA 26084. Identical with is2wlk 26095. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2Wlklem	⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘

Proof of Theorem 2Wlklem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 9913	. 2 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 9914	. 2 ⊢ 1 ∈ V
3		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘0))
4	3	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘0)))
5		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
6		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
7		0p1e1 11009	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
8	6, 7	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
9	8	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
10	5, 9	preq12d 4220	. . 3 ⊢ (𝑘 = 0 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
11	4, 10	eqeq12d 2625	. 2 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}))
12		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘1))
13	12	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
14		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
15		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
16		1p1e2 11011	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
17	15, 16	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
18	17	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
19	14, 18	preq12d 4220	. . 3 ⊢ (𝑘 = 1 → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
20	13, 19	eqeq12d 2625	. 2 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
21	1, 2, 11, 20	ralpr 4185	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∀wral 2896  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-2 10956

This theorem is referenced by:  upgr2wlk  40876