Theorem 21wlkdlem5 41136

Description: Lemma 5 for 21wlkd 41143. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
21wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
21wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
21wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
21wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
21wlkdlem5	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝐾(𝑘)

Proof of Theorem 21wlkdlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		21wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2		21wlkd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3		21wlkd.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4		21wlkd.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
5	2, 3, 4	21wlkdlem3 41134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
6		simp1 1054	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7		simp2 1055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
8	6, 7	neeq12d 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
9		simp3 1056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
10	7, 9	neeq12d 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
11	8, 10	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))
12	11	bicomd 212	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
13	5, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
14	1, 13	mpbid 221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
15	2, 3	21wlkdlem2 41133	. . . 4 ⊢ (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1}
16	15	raleqi 3119	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
17		c0ex 9913	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
18		1ex 9914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
19		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘0))
20		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
21		0p1e1 11009	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
22	20, 21	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
23	22	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
24	19, 23	neeq12d 2843	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
25		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘1))
26		oveq1 6556	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
27		1p1e2 11011	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
28	26, 27	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
29	28	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
30	25, 29	neeq12d 2843	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
31	17, 18, 24, 30	ralpr 4185	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
32	16, 31	bitri 263	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
33	14, 32	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ..^cfzo 12334  #chash 12979  ⟨“cs2 13437  ⟨“cs3 13438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445

This theorem is referenced by:  21wlkd  41143