Theorem 1wlkvtxeledglem 40827

Description: Lemma for 1wlkvtxeledg 40828: Two adjacent vertices in a 1-walk are incident with an edge. (Contributed by AV, 4-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
1wlkvtxeledglem	⊢ (if-((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)}, {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))

Proof of Theorem 1wlkvtxeledglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3587	. . . 4 ⊢ {(𝑃‘𝐾)} ⊆ {(𝑃‘𝐾)}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)}) → {(𝑃‘𝐾)} ⊆ {(𝑃‘𝐾)})
3		preq2 4213	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃‘(𝐾 + 1)) = (𝑃‘𝐾) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} = {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘𝐾)})
4		dfsn2 4138	. . . . . 6 ⊢ {(𝑃‘𝐾)} = {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘𝐾)}
5	3, 4	syl6eqr 2662	. . . . 5 ⊢ ((𝑃‘(𝐾 + 1)) = (𝑃‘𝐾) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} = {(𝑃‘𝐾)})
6	5	eqcoms 2618	. . . 4 ⊢ ((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} = {(𝑃‘𝐾)})
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)}) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} = {(𝑃‘𝐾)})
8		simpr 476	. . 3 ⊢ (((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)}) → (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)})
9	2, 7, 8	3sstr4d 3611	. 2 ⊢ (((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)}) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))
10	9	1fpid3 1023	1 ⊢ (if-((𝑃‘𝐾) = (𝑃‘(𝐾 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝐾)) = {(𝑃‘𝐾)}, {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝐾))) → {(𝑃‘𝐾), (𝑃‘(𝐾 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  if-wif 1006   = wceq 1475   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-sn 4126  df-pr 4128

This theorem is referenced by:  1wlkvtxeledg  40828