Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1wlkp1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkp1lem3 40884
 Description: Lemma for 1wlkp1 40890. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
1wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
1wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
1wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
1wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
1wlkp1.w (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1wlkp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
1wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
1wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
1wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
1wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
Assertion
Ref Expression
1wlkp1lem3 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem 1wlkp1lem3
StepHypRef Expression
1 1wlkp1.u . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2 1wlkp1.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
43fveq1d 6105 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5 1wlkp1.n . . . . 5 𝑁 = (#‘𝐹)
6 fvex 6113 . . . . 5 (#‘𝐹) ∈ V
75, 6eqeltri 2684 . . . 4 𝑁 ∈ V
8 1wlkp1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ V)
9 1wlkp1.w . . . . 5 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
10 1wlkp1.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11101wlkf 40819 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
12 lencl 13179 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13 wrddm 13167 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
14 fzonel 12352 . . . . . . 7 ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
155a1i 11 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 = (#‘𝐹))
16 simpr 476 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
1715, 16eleq12d 2682 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
1814, 17mtbiri 316 . . . . . 6 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
1912, 13, 18syl2anc 691 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
209, 11, 193syl 18 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
21 fsnunfv 6358 . . . 4 ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
227, 8, 20, 21mp3an2i 1421 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
234, 22eqtrd 2644 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑁) = 𝐵)
241, 23fveq12d 6109 1 (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800 This theorem is referenced by:  1wlkp1lem7  40888  1wlkp1lem8  40889
 Copyright terms: Public domain W3C validator