Theorem 1wlkp1lem3 40884

Description: Lemma for 1wlkp1 40890. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
1wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
1wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
1wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
1wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
1wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
1wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
1wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
1wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
1wlkp1lem3	⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Proof of Theorem 1wlkp1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkp1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2		1wlkp1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
4	3	fveq1d 6105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁))
5		1wlkp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
6		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐹) ∈ V
7	5, 6	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ V
8		1wlkp1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
9		1wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
10		1wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11	10	1wlkf 40819	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
12		lencl 13179	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
13		wrddm 13167	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
14		fzonel 12352	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
15	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → 𝑁 = (#‘𝐹))
16		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
17	15, 16	eleq12d 2682	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → (𝑁 ∈ dom 𝐹 ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
18	14, 17	mtbiri 316	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))) → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
19	12, 13, 18	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
20	9, 11, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹)
21		fsnunfv 6358	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ¬ 𝑁 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
22	7, 8, 20, 21	mp3an2i 1421	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})‘𝑁) = 𝐵)
23	4, 22	eqtrd 2644	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = 𝐵)
24	1, 23	fveq12d 6109	1 ⊢ (𝜑 → ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻‘𝑁)) = ((𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩})‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕ₀cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800

This theorem is referenced by:  1wlkp1lem7  40888  1wlkp1lem8  40889