Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1wlkiswwlks2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkiswwlks2lem4 41069
 Description: Lemma 4 for 1wlkiswwlks2 41072. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkiswwlks2lem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
1wlkiswwlks2lem.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
1wlkiswwlks2lem4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑃,𝑖   𝑖,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑖)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem 1wlkiswwlks2lem4
StepHypRef Expression
1 1wlkiswwlks2lem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (𝐸‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
21wlkiswwlk2lem1 26219 . . 3 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
323adant1 1072 . 2 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
4 lencl 13179 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
543ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
61wlkiswwlk2lem2 26220 . . . . . . . . 9 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
75, 6sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
87adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐹𝑖) = (𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
98fveq2d 6107 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
10 1wlkiswwlks2lem.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
1110uspgrf1oedg 40403 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺))
12 edgaval 25794 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1310rneqi 5273 . . . . . . . . . . . 12 ran 𝐸 = ran (iEdg‘𝐺)
1412, 13syl6reqr 2663 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ USPGraph → ran 𝐸 = (Edg‘𝐺))
1514f1oeq3d 6047 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1-onto→(Edg‘𝐺)))
1611, 15mpbird 246 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
17163ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
1817adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸)
19 f1ocnvfv2 6433 . . . . . . 7 ((𝐸:dom 𝐸1-1-onto→ran 𝐸 ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
2018, 19sylan 487 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐸‘{(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
219, 20eqtrd 2644 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
2221ex 449 . . . 4 (((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2322ralimdva 2945 . . 3 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24 oveq2 6557 . . . . 5 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
2524raleqdv 3121 . . . 4 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
2625imbi2d 329 . . 3 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2723, 26syl5ibr 235 . 2 ((#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1) → ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
283, 27mpcom 37 1 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792   USPGraph cuspgr 40378 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-edga 25793  df-uspgr 40380 This theorem is referenced by:  1wlkiswwlks2lem6  41071
 Copyright terms: Public domain W3C validator