Theorem 1wlkiswwlks2lem2 41067

Description: Lemma 2 for 1wlkiswwlks2 41072. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
1wlkiswwlks2lem.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))

Assertion

Ref	Expression
1wlkiswwlks2lem2	⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝐸   𝑥,𝐼

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem 1wlkiswwlks2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkiswwlks2lem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))
3		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘𝑥) = (𝑃‘𝐼))
4		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 + 1) = (𝐼 + 1))
5	4	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑃‘(𝑥 + 1)) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
6	3, 5	preq12d 4220	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → {(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))} = {(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))})
7	6	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))
9		simpr 476	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
10		fvex 6113	. . 3 ⊢ (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}) ∈ V)
12	2, 8, 9, 11	fvmptd 6197	1 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1))) → (𝐹‘𝐼) = (◡𝐸‘{(𝑃‘𝐼), (𝑃‘(𝐼 + 1))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ₀cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by: (None)