Theorem 1wlkdlem2 40892

Description: Lemma 2 for 1wlkd 40895. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
1wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
1wlkd.l	⊢ (𝜑 → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
1wlkd.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem2	⊢ (𝜑 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem 1wlkdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
2		fzo0end 12426	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
3		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)))
4		oveq1 6556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑘 + 1) = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
5	4	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)))
6	3, 5	preq12d 4220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))})
7		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
8	7	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
9	6, 8	sseq12d 3597	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
10	9	rspcv 3278	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
12		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ V
13		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ V
14	12, 13	prss 4291	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
15		nncn 10905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
16		npcan1 10334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℂ → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
18	17	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
19	18	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
20	19	biimpd 218	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
21	20	adantld 482	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (((𝑃‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
22	14, 21	syl5bir 232	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
23	11, 22	syld 46	. . 3 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
24	1, 23	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
25		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
26		fvex 6113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
27	25, 26	prss 4291	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
28		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
29	27, 28	sylbir 224	. . . . 5 ⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	ralimdva 2945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
32	1, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
33	24, 32	jca 553	1 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  1wlkdlem3  40893